Alexis Droy commence ses études musicales au Conservatoire de Nice par le piano. Il entre ensuite dans la classe d'orgue de René Saorgin et obtient le premier prix en 1993. La même année, il couronne ses études de composition avec Jean-Louis Luzignant par un premier prix d'écriture.
En 1994, après un an de perfectionnement avec Francis Chapelet, il remporte la médaille d'honneur de la ville de Bordeaux. Enfin, il entre au Conservatoire de Toulouse pour étudier avec Michel Bouvard et Jan-Wilhem Jansen et obtient la médaille d'or (1995) et le prix de perfectionnement à l'unanimité du jury en orgue (1997).
Il se produit au sein de diverses formations: orchestre (Orchestre National du Capitole de Toulouse, Orchestre d’Auvergne...), chant et piano, flûte et orgue, choeur et orgue... et participe en soliste à divers festivals.
Suppléant au grand orgue Cavaillé-Coll de la Basilique Saint Sernin de Toulouse de 1997 à 2001, il est à présent titulaire du grand orgue Joseph Merklin de la Cathédrale de Moulins, instrument d'une grande finesse et d'une rare authenticité. Il dirige le Festival d’orgue de Moulins qui a lieu chaque année fin juillet.
Alexis Droy a enregistré chez Ligia le disque La route des orgues vol. 14 à l’orgue historique de Commentry en compagnie d’Olivier Vernet et Cédric Meckler, ainsi qu’un album Mendelssohn et Vierne à la cathédrale de Moulins salué par la critique : 5 étoiles chez Classica et 4 diapasons. Un nouvel album Motets à Marie enregistré avec la chanteuse Marie-Clothilde de Salvert est paru en 2022, avec des oeuvres de Camille Saint-Saëns, César Franck, Charles Gounod, Jules Massenet...
Titulaire du CAPES et du Diplôme d'État, il enseigne à l'École de Musique de l'Agglomération de Moulins la formation musicale, l'écriture et l'orgue.
Alexis Droy est fréquemment sollicité pour écrire des compositions et des arrangements pour des formations très diverses: orchestre symphonique, orchestre d'harmonie, big band, choeur de femmes, cuivres et orgue... La partition de sa Suite sur le nom de M.E.R.K.L.I.N. pour orgue est éditée chez la Sinfonie d’Orphée.